segunda-feira, 2 de março de 2009

JOHANN CARL FRIEDRICH GAUSS

Johann Carl Friedrich Gauss dedicou toda a sua vida às ciências matemáticas. Pesquisar sua biografia e suas obras é fazer um passeio pela história da matemática, pois seus trabalhos não ficam presos a um único campo de pesquisa. Seus estudos iniciam pela aritmética, passam pela astronomia e geodésia, chegando à geometria e à física matemática. Além disso, percebe-se que o matemático não se interessava em requerer a prioridade de suas invenções, mas se preocupava com a teoria, ou seja, com a matemática que envolvia seus inventos.
Nesse estudo, estão apresentadas algumas das principais descobertas feitas por Gauss. Dada a imensidade do material de estudo do matemático, é praticamente impossível fazer uma descrição ou exposição de todos os seus feitos. Assim procurou-se destacar os pontos mais importantes de seu trabalho.

CONTEXTO HISTÓRICO

Físico, astrônomo e matemático germânico nascido em Braunschweig, Ducado de Brunswick, hoje na Alemanha, em 30 de Abril de 1777 e morreu em Göttingen, na Alemanha, em 23 de Fevereiro de 1855. Foi um dos matemáticos mais importantes e prolíficos de todas os tempos, também conhecido por suas contribuições à álgebra, geometria diferencial, teoria das probabilidades e teoria dos números. Menino prodígio filho de camponeses pobres, teve sua educação incentivada para estudar pela mãe e por um tio, apesar da objeção paterna. Consta que aos 3 anos de idade já tinha boas noções de aritmética: ao acompanhar os cálculos feitos pelo pai para o pagamento de alguns empregados, detectou um erro nas contas. Aos dez anos, iniciou seus estudos regulares de matemática, surpreendendo os professores pela facilidade e agilidade com que realizava complicadas operações e com que aprendia línguas.
Conta-se que nos fins do século XVIII, numa escola elementar de Brunswick, Alemanha, o professor eternamente cansado transmite a seus alunos uma tarefa: adicionar todos os números inteiros de 1 a 100. Dessa maneira, ficarão ocupados por muito tempo e lhe permitirão um tranqüilo repouso. Mal acabara de dar a ordem, e já um aluno se ergue, dando-lhe o resultado: 5050. O professor repreende-o, pelo que julgava ser uma brincadeira desrespeitosa (ele próprio ainda não calculara o resultado), mas a criança explica sua resposta.
Tinha observado, durante a formulação da questão, que a soma de todos os números de 1 a 100 era igual a cinqüenta vezes a soma do primeiro com o último (1 + 1 00 = 1 O 1), do segundo com o penúltimo (2 + 99 = 101), e assim por diante. Ora, 50 X 101 é igual a 5050.
O pai de Gauss achava que ele devia aprender um ofício, para se empregar num trabalho útil. A matemática era uma extravagância, dispendiosa para um simples filho e neto de jardineiros. Mas sua mãe, orgulhosa e confiante no gênio de Carl Friedrich, soube vencer as resistências paternas. A família passou então a estimulá-lo e apoiá-lo em seus estudos.
Büttner, o espantado professor que presenciara o cálculo da soma dos primeiros cem números inteiros, deu-lhe um manual, seu primeiro livro "sério" sobre matemática. Aos dez anos, Gauss já o havia assimilado por completo, e buscava algo mais profundo. Lia tudo quanto lhe caía nas mãos. Alguns jovens amigos, interessados como ele nas ciências exatas, emprestavam-lhe os volumes inacessíveis ao seu bolso.
Certo dia, um desses amigos o apresentou a Carlos Ferdinando, Duque de Brunswick. Este compreendeu a grande inteligência escondida sob a timidez daquele menino e decidiu encarregar-se das despesas de sua educação. Gauss ingressou no Colégio Carolino, onde teve o primeiro contato com as matemáticas superiores. Mas o seu professor era decepcionante: sem saber como ensinar, nas suas palavras a matemática não se tornava uma ciência interessante.
É então que, adolescente ainda, Gauss descobre os tratados de Newton, Euler e Lagrange. "Na minha mente, ao ler os tratados de Euler, aglomerou-se bruscamente uma tão grande multidão de idéias minhas e novas, que não conseguia sequer fazer a conta delas", diria alguns anos mais tarde. E, entre os catorze e os dezessete anos, começa a realizar suas primeiras descobertas matemáticas.
Antes mesmo de ingressar no Colégio Carolino, Gauss havia aprendido o grego e o latim, então indispensáveis a uma formação humanística.
Com apenas quatorze anos, já se exprimia em latim como em seu idioma natal.
Quando, mais tarde, se viu obrigado a decidir acerca da orientação de seus estudos, ficou longamente indeciso entre a filologia e as ciências matemáticas.
Em 30 de março de 1796, com dezenove anos, a descoberta de como construir com o compasso o lado do polígono de dezessete lados leva-o a dedicar-se apenas à matemática. Transfere-se então para Helmstadt, para continuar os estudos. A partir daquele dia começa a manter um diário, no qual anota meticulosamente seus pensamentos, suas invenções, os cálculos e o desenvolvimento das suas idéias.
O abandono da filologia como carreira oficial não diminuiu em Gauss o interesse pelas línguas clássicas. Escreveu suas obras geralmente em latim, o que facilitou muitíssimo a sua difusão, pois naquela época essa língua era conhecida e falada por todas as pessoas cultas da Europa.
O mundo científico sofreu um grande choque com a publicação póstuma do diário de Gauss. É que a ele pertencia o mérito de descobertas matemáticas oficialmente atribuídas a outros. Muitas de suas pesquisas ficaram praticamente sepultadas nas folhas do diário, pois Gauss não se interessava pela glória da prioridade. Algumas vezes, quis espontaneamente renunciar a ela, considerando seus pensamentos insuficientemente elaborados e incompletos para confiá-los aos livros.
O diário teve ainda o mérito de retratar todo o processo criativo de uma mente privilegiada. As idéias aparecem na sua forma original, às vezes apenas aludidas. Depois, em outro trabalho publicado pelo próprio Gauss, as mesmas idéias se encontram expostas de forma rigorosa, evoluídas e ligadas a outros ramos de conhecimento. Seu lema era "Pauca sed matura" (poucas coisas, porém elaboradas até a perfeição). E a ele se manteve sempre fiel, deixando a outros cientistas, que melhor desenvolveram idéias suas, o mérito da descoberta.
No entanto, mesmo sem considerar pesquisas só conhecidas postumamente, sua obra é monumental. Gauss ocupou-se, em períodos sucessivos, de diversas disciplinas: aritmética, geometria, análise, eletricidade, astronomia, geodésia, mecânica. A alegria juvenil sentida com a primeira descoberta levou-o a desistir da filologia e a dedicar-se ardorosamente à matemática. A 30 de março de 1796, verificou que era possível construir com régua e compasso os polígonos regulares dotados de um número de lados exprimível pela fórmula 2 2n - 1 onde n é um número inteiro qualquer. Descobrira especificamente como construir com o compasso o lado do polígono de dezessete lados (n = 2, na fórmula).
Quem tentar construir o lado do pentágono depois de haver esquecido a demonstração, aprendida na escola há anos, será capaz de apreciar a importância dessa descoberta efetuada por um jovem de dezenove anos de idade.
Em 1801, Piazzi descobrira um pequeno astro. Seu nome era Ceres e girava entre Marte e Júpiter. Era necessário calcular, com a maior rapidez, a órbita em que se deslocava, porque dentro em pouco desapareceria no esplendor da luz solar e não seria facilmente reencontrado.
O mundo científico dirigiu-se então a Gauss pedindo-lhe que estudasse um método matemático adequado ao cálculo da órbita do asteróide, a partir de poucas observações. Da velocidade com que resolvesse o problema dependeria a possibilidade de reencontrar Ceres e confirmar a sua descoberta. Se Gauss não tivesse êxito, a oportunidade talvez se perdesse por muitos anos, e a existência de Ceres continuaria a ser uma suspeita dos astrônomos.
No início do século XIX, os homens cultos procuravam interessar-se por todos os aspectos da atividade humana. As energias espirituais despertadas pela Revolução Francesa ainda se faziam sentir poderosamente. Por isso, a Europa inteira seguia com extremo interesse os progressos do trabalho de Gauss. Napoleão discutia com seus generais a possibilidade de que o matemático alcançasse a solução do problema, e se inflamava com a idéia de que seu gênio pudesse vencer, na competição com o tempo, o mistério do movimento do asteróide.
O gênio de Gauss não desapontou os que nele acreditaram: a trajetória de Ceres foi calculada. Mas tal incumbência fez Gauss voltar-se para a astronomia. No período que vai de 1801 a 1816, foram publicadas várias obras suas sobre mecânica celeste. Entre 1816 e 1828, os seus interesses se deslocaram para a geometria diferencial: a parte da geometria que estuda as propriedades de forma e curvatura das superfícies no espaço, definidas por meio de equações ou simplesmente com base nas características gerais da sua forma. Ocupou-se, pois, com geometria não-euclidiana, lançando as bases que, cem anos mais tarde, serviriam a Einstein para expor a sua teoria da relatividade geral.
A física matemática constituiu o principal objeto de seus estudos por doze anos, ate; cerca de 1840. Gauss estudava a descrição matemática de certos fenômenos como, por exemplo, a forma geométrica das linhas de força do campo magnético, ou a forma que deve assumir a superfície do mar por efeito da força de atração exercida pela Lua e da força centrífuga originada pela rotação da Terra.

(Göttingen, em estampa de 1824)

Na fase final de sua vida, que se encerrou em Göttingen aos 78 anos, a 23 de fevereiro de 1855, voltou a dedicar-se à geometria e à geodésia (o estudo da forma e das dimensões da Terra).
Os últimos anos de Gauss transcorreram numa atividade febril. Era amigo de alguns matemáticos de grande nomeada, como Pfaff e Bolyai, que sinceramente o admiravam. Alternava o trabalho com o estudo de línguas (estudou sozinho o russo na idade de sessenta anos) e com a leitura de obras literárias. Gostava de Walter Scott, mas detestava Byron, Schiller e Goethe.
Um aspecto interessante da sua multiforme atividade, geralmente pouco conhecido, foi a sua capacidade como inventor. Gauss inventou o telégrafo óptico e o telégrafo com fio. Inventou também o magnetômetro (um instrumento para medir a intensidade do campo magnético). Entretanto, nunca se preocupou em reivindicar a prioridade das suas invenções, e nem procurou aplicações práticas para elas. Interessava-lhe apenas a teoria, deixando aos outros a exploração.
Além de inumeráveis artigos breves em revistas de matemática, física e geodésia, Gauss publicou cerca de 155 volumes sobre os estudos por ele efetuados. Pode-se apenas ressaltar as principais pesquisas e descobertas de cada um dos períodos de sua atividade.
Ao período da aritmética pertence à descoberta do teorema fundamental da álgebra (toda equação algébrica possui pelo menos uma raiz) e a teoria da divisibilidade dos números.
Durante o período dedicado à astronomia destaca-se a aplicação do método dos mínimos quadrados ao cálculo das órbitas dos planetas, além do estudo do cálculo das órbitas e do modo pelo qual se atraem os corpos celestes de forma não-esférica.
No período da geodésia e da geometria, as obras mais importantes versam sobre o estudo das superfícies do espaço, sobre o conceito de curvatura total e acerca dos métodos de representação, no plano, de superfície de forma complexa (problema que se relacionava, também, com a cartografia).
No período da física matemática, Gauss estudou o problema relativo à forma que assume um corpo fluido no estado de equilíbrio, quando solicitado por forças externas; questões sobre o magnetismo terrestre e sua medida; o problema da teoria do potencial eletrostático e eletromagnético; e a teoria da propagação das ondas luminosas.
Finalmente, no último período de sua vida, consagrou-se a pesquisas sobre a generalização das representações geodésicas aos problemas de álgebra.
A morte de Gauss coincide com o incremento da Revolução Industrial. A crença oficial no progresso pacífico começava a ser substituída pela realidade de uma época de crises. Daí para diante, a figura do cientista integral, interessado em todos os aspectos do conhecimento humano, se toma praticamente uma raridade. Por isso, o desaparecimento de Gauss marca o fim de uma era.

ALGUMAS DAS PRINCIPAIS DESCOBERTAS E INVENÇÕES

Teorema Fundamental da Álgebra

Em 16 de Julho de 1799, Gauss foi graduado Doutor em Filosofia pela Universidade de Helmstedt. A sua tese, publicada nesse mesmo ano, sob o título “Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicum rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus” ( Uma nova demonstração de que todos os polinômios de uma variável podem ser fatorados em fatores reais de primeiro e segundo grau ), é uma demonstração do Teorema Fundamental da Álgebra.
O Teorema Fundamental da Álgebra pode enunciar-se de forma geral: Toda a equação polinomial tem pelo menos uma raiz. O fato de uma equação polinomial de grau n ter sempre n raízes é então um simples corolário.
As diferentes demonstrações deste teorema são as contribuições mais importantes que Gauss deu como rigorista, isto é, como representante do rigor lógico nos métodos demonstrativos. Como este teorema tem grande significado tanto em Álgebra como em Teoria de Funções, ele influenciou ambas as áreas.

O Método dos Mínimos

A primeira publicação de Gauss do método dos mínimos quadrados apareceu em 1809 no final do seu livro Theoria motus. Em 1823 Gauss publicou o seu grande trabalho “Theoria combinationis observationum erroribus minimus obnoxiae” ( A Teoria para a combinação de observações, que estão ligadas com os mínimos erros possíveis ).
Trata-se de uma apresentação sistemática e generalizada da sua recente teoria de erros observáveis. Gauss desenvolve aí o método dos mínimos quadrados enquanto a mais adequada de combinar observações, independentemente de qualquer lei hipotética relativa à probabilidade de erro.

(Telescópio de Gauss)

A Lei da Distribuição Normal e a Curva dos Erros

A famosa lei da distribuição de Gauss, com várias aplicações, foi publicada na terceira seção do livro Theoria motus.Gauss fez série de suposições gerais sobre as observações e os erros observáveis e complementou-os com uma suposição puramente matemática. Depois, de uma forma muito simples, foi capaz de obter a equação da curva que correspondia aos seus resultados empíricos. Essa curva era a Curva de Gauss.

(Curva de Gauss)

O gráfico de assemelha-se a um sino e às vezes é chamado uma curva em forma de sino. Se o coeficiente da precisão é grande, então a curva é íngreme e as observações caem próximo da média aritmética. Mas se for pequena, a curva é plana, isto é, a distribuição é mais generalizada.
Gauss também fez cálculos acerca de limites de erros prováveis para uma série particular de observações da mesma quantidade. O resultado mais importante aqui é que o erro médio da média aritmética é inversamente perpendicular à raiz quadrada do número de observações; noutras palavras, a ocorrência provável da média cresce com a raiz quadrada do número de observações.
Gauss descobriu também o Teorema do Integral de Cauchy para funções analíticas, mas não publicou essa descoberta.


Geodésia

Em 1817, Gauss estava preparado para trabalhar em relação à Geodésia que seria a sua preocupação durante os próximos oito anos e um peso nos seguintes trinta anos.
Desde a sua chegada a Göttingen, Gauss estava preocupado com a exatidão da localização do observatório e, em 1812, o seu interesse em problemas mais gerais foi estimulado durante uma visita ao Observatório de Seeberg. Começou então a discutir com Schumacher a possibilidade de prolongar até Hannover o último prolongamento da Dinamarca. E Gauss tinha muitos motivos para este projeto. Ele envolvia problemas matemáticos interessantes que abriam um novo campo para as suas habilidades com os cálculos e permitiam complementar a sua astronomia posicional. Competindo com os esforços franceses para calcular o comprimento do arco de um grau no meridiano, esta situação oferecia-lhe uma oportunidade de fazer alguma coisa útil para a humanidade, providenciando uma fuga aos aborrecimentos do seu trabalho e com os problemas familiares. A última era uma razão trivial, dado que Gauss tinha responsabilidades familiares acrescidas para enfrentar um salário que permaneceria fixo desde 1807 até 1824.
Só em 1820 a Triangulação de Hannover foi oficialmente aprovada, mas já em 1818 Gauss havia começado um árduo programa de verão no qual, supervisionando no terreno, tentava recolher dados que não tinha sido possível obter durante o inverno. Atormentado pelo deficiente arejamento das instalações em que se encontrava, pelas desconfortáveis condições de vida, pelo mau tempo, pelos funcionários pouco cooperativos, pelos acidentes, pela saúde precária e pela inadequada assistência e suporte financeiro, Gauss fez o trabalho de campo quase sempre sozinho ou com uma ajuda mínima durante oito anos. Foi, sem dúvida, uma verdadeira prova de persistência. Depois de 1825, restringiu a si a supervisão e os cálculos necessário para o acabamento da triangulação de Hannover em 1947. Quando tal aconteceu, havia manejado milhões de números sem qualquer assistência.
Um dos instrumentos que resultou do seu trabalho de campo foi o invento do heliotrópio, um instrumento que permitia refletir os raios solares numa direção medida. Motivado pela insatisfação quanto aos parcos métodos existentes para observar pontos distantes, Gauss decidiu usar luz do sol refletida. Depois de trabalhar em teoria óptica, projetou o instrumento. O primeiro modelo foi construído em 1821. O resultado foi bem sucedido na prática, tendo o instrumento alcançado o brilho da magnitude de uma primeira estrela à distância de 24.14 km. O percurso vitorioso de Gauss viria a terminar a 23 de Fevereiro de 1855, dia em que faleceu enquanto dormia. Apesar da sua morte, o seu trabalho e as suas poderosas contribuições para a Matemática estão, ainda hoje, mais vivas do que nunca. Num olhar pela história da Matemática e da Astronomia será impossível não reconhecer o quanto o trabalho realizado por Gauss permitiu que estas duas ciências progredissem e tivessem o grau de rigor e precisão que hoje as caracterizam.

(Telégrafo construído por Gauss)

Polígono Regular de 17 lados

Aos dezoito anos Gauss teve um vislumbre das suas idéias matemáticas. Sabemos disso por meio do seu jornal científico, escrito em latim, a que deu o nome de Notizenjournal.
Na edição de 30 de Março de 1796, escreve:
"Princípio da divisão do círculo, como dividir geometricamente uma circunferência em dezessete partes, e daí em diante”.
Foi esta descoberta que, com um simples golpe, fez Gauss famoso entre os Matemáticos. Ela envolve a construção do polígono regular de 17 lados usando apenas "as ferramentas de Euclides", isto é, régua e compasso.
Gauss ficou tão feliz e orgulhoso com esta descoberta que disse ao seu amigo Wolfgang Bolyai que o polígono regular de 17 lados deveria ser gravado na sua sepultura.
Não chegou a ser. Mas, no monumento a Gauss, em Braunschweig, existe uma estrela de 17 pontas que quase se confunde com uma circunferência.
A primeira noticia publicada com que Gauss apareceu em público dá a retrospectiva histórica do problema.
"Todo o principiante em Geometria sabe que é possível construir diferentes polígonos regulares, por exemplo, triângulos, pentágonos, polígonos regulares com 15 lados, e que esses polígonos são resultantes de se duplicar o número de lados dessas figuras. Parte disto já vem do tempo de Euclides e parece que, desde então, se acreditou que o campo da geometria elementar acabou nesse ponto. Em todo o caso, não conheço nenhuma tentativa bem sucedida para estender as fronteiras para além dessa linha. Parece-me, portanto que esta descoberta possui algum interesse especial. Na verdade, para além desses polígonos regulares, um número de outros são geometricamente construtíveis, por exemplo, o de 17 lados. Esta descoberta é realmente um corolário de uma teoria com conteúdos maiores, que ainda não está completa, mas que será publicada assim que for completada.”
(Polígono regular de 17 lados)

CONCLUSÃO

Estudando a vida e parte da obra de Johann Carl Friedrich Gauss entende-se facilmente a importância de seu trabalho e o motivo pelo qual ele é conhecido como o “Príncipe da Matemática”. Gauss dedicou sua vida ao estudo das ciências e por isso é considerado um cientista integral, pois não se deteve em estudar apenas um segmento da matemática, mas envolveu-a com outras ciências, visando extrair a matemática existente nos fenômenos físicos e naturais.
Pode-se dizer que a única ambição de Gauss era o progresso da matemática, pelo qual lutou brilhantemente até o fim de sua vida.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

br.geocities.com/saladefisica9/biografias/gauss.htm
www.e-escola.pt/personalidades.asp?nome=gauss-johann-carl-friedrich
www.dec.ufcg.edu.br/biografias/JohaGaus.html
www.miniweb.com.br/ciencias/artigos/gauss1.html


Autores: Eduardo Lemos Loureiro

Liondely Stephan de Souza Pimentel

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